[증명] 불연속점이 있는 도함수

[증명] 불연속점이 있는 도함수

 * [증명] 포스트는 '내용 정리'의 내용 중에서 추가적인 설명이 필요한 경우에 올리는 포스트입니다. 증명과 관련된 포스트는 다음과 같습니다.

[01] 다르부의 정리

 어떤 미분가능한 함수의 도함수는 연속성이 보장된다고 생각하기 쉽지만, 도함수 역시 그 함수의 연속성이 규명이 되기 전까지는 연속성이 보장이 되지 않는다. 그렇다면 도함수가 불연속인 지점이 갖는 예와 그러한 예가 나타나는 이유에 대해서 알아보자.

 [1] x에 관한 함수 f가

와 같이 있다. 이 때, (1) 함수 f의 도함수를 구하고, (2) x=0에서의 도함수의 연속인지를 확인하시오.

 (증명) (1) x≠0인 경우부터 구해보자. 이 때에는

, 

가 도함수가 존재한다. 이 때에는

도 도함수가 존재한다. 도함수를 구해보면,

와 같다.

 x=0인 경우는 도함수의 정의에 의해서,

와 같이 임을 구할 수 있다.

 (2) 앞서 구한 도함수에서 x=0에서는 불연속임을 알 수 있다.

 (참고) 함수 f와 그것의 도함수의 그래프는

함수 f의 그래프 [-0.1, 0.1]함수 f의 그래프 [-1, 1]

와 같다.

 이상으로 문제에서 구하고자 하는 바를 모두 구하였다. □

 이와 같이, 도함수가 존재하더라도 불연속적인 지점을 갖는 경우가 있다. 이것은 도함수를 정의할 때, '특정 지점'의 순간 변화율을 구하는 것이기 때문에, 도함수를 통해서는 함숫값에 대해서는 정의가 되지만, 극한값에 대해서는 별도로 정의가 되지 않기 때문이다. 그러므로

와 같은 도함수의 극한값은 특정 지점에서의 순간 기울기를 나타내는 것이 아니라, 단순히 도함수의 '특정 지점'에서의 극한값을 나타낸다. 이러한 이유로 이 극한값과 함숫값이 일치하지 않는 경우가 있다.

 이와 관련하여, 2가지 유념할 사항이 있다. 먼저, 항상 어떤 함수의 도함수가 연속이라는 것이 보장이 되지 않기 때문에, 도함수에 해당 함수가 연속인 경우에 적용할 수 있는 중간값 정리 등을 함부로 적용할 수 없다.^[각주:1] 한편, 도함수 중에서 불연속인 지점을 갖는 것이 존재한다고 하더라도, 불연속인 지점을 갖는 함수가 항상 그 함수에 대한 원시함수(부정적분)이 존재하는 것은 아니다.

 이로써 도함수 중에서 불연속인 지점이 있는 경우에 대한 예, 그러한 예가 나타나는 이유, 그와 관련해서 유념해야 하는 사항을 알아보았다.

1. 이와 관련해서 연속성이 보장이 되지 않더라도, 중간값 정리가 성립함을 제시한 다르부의 정리[Darboux's theorem]가 존재한다. [본문으로]